autovalores de matrizes e feixes
evals=spec(A) [R,diagevals]=spec(A) evals=spec(A,B) [alpha,beta]=spec(A,B) [alpha,beta,Z]=spec(A,B) [alpha,beta,Q,Z]=spec(A,B)
matriz quadrada de reais ou complexos
matriz quadrada de reais ou complexos com as mesmas dimensões
queA
vetor de reais ou complexos, os autovalores
matriz diagonal de reais ou complexos (autovalores ao longo da diagonal)
vetor de reais ou complexos, al./be fornece os autovalores
vetor de reais, al./be fornece os autovalores
matriz quadrada de reais ou complexos invertível, autovetores direitos da matriz
matriz quadrada de reais ou complexos invertível, autovetores esquerdos do feixe
matriz quadrada de reais ou complexos invertível, autovetores direitos do feixe
retorna no vetor evals
os
autovalores.
retorna na matriz diagonal evals
os
autovalores e em R
os autovetores
direitos.
retorna o espectro do feixe de matrizes A - s B, i.e. as raízes da matriz de polinômios s B - A.
retorna o espectro do feixe de matrizes A- s
B
,i.e. as raízes da matriz de polinômios A - s
B
.Auto valores generalizados alpha e beta são tais que a
matriz A - alpha./beta B
é uma matriz singular.
Os autovalores são dados por al./be
e se
beta(i) = 0
o i-ésimo autovalor está no infinito.
(Para B = eye(A), alpha./beta
é
spec(A)
). É usualmente representado pelo par
(alpha,beta), já que há uma interpretação razoável para beta=0, e
até mesmo para os dois sendo zero.
retorna, ainda, a matriz R
de autovetores
direitos generalizados do feixe.
rretorna ainda a matriz Q
e
Z
de autovetores esquerdos e direitos
generalizados do feixe.
As computações de autovalores de matrizes são baseadas nas rotinas Lapack
DGEEV e ZGEEV quando as matrizes não são simétricas,
DSYEV e ZHEEV quando as matrizes são simétricas.
Uma matriz de complexos simétrica tem termos fora da diagonal conjugados e termos diagonais reais.
As computações de autovalores de feixes são baseadas nas rotinas Lapack DGGEV e ZGGEV.
Deve-se notar que o tipo das variáveis de saída, tais como evals ou R por exemplo, não é necessariamente o mesmo das que das matrizes de entrada A e B. No parágrafo seguinte, análisamos o tipo das variáveis de saída no caso onde nos casos onde se computa os autovalores e autovetores de uma única matriz A.
Matriz A de reais
Simétrica
Os autovetores e autovalores são reais.
Não simétrica
Os autovetores e autovalores são complexos.
Matriz A de complexos
Simétrica
Os autovalores são reais, mas os autovetores são complexos.
Não simétrica
Os autovetores e autovalores são complexos.
// AUTOVALORES DA MATRIZ A=diag([1,2,3]); X=rand(3,3); A=inv(X)*A*X; spec(A) // x=poly(0,'x'); pol=det(x*eye(3,3)-A) roots(pol) // [S,X]=bdiag(A); clean(inv(X)*A*X) // AUTOVALORES DO FEIXE A=rand(3,3); [al,be,R] = spec(A,eye(A)); al./be clean(inv(R)*A*R) //exibindo os autovalores (matriz genérica) A=A+%i*rand(A); E=rand(A); roots(det(A-%s*E)) //caso de complexos | ![]() | ![]() |